Jede thermo-hydraulische Simulation steht und fällt mit ihrem Rechenkern, dem Stück Software, das aus Netztopologie, Rohrdaten, Lastprofilen und Regelungslogik einen physikalisch belastbaren Druck-, Massenstrom- und Temperaturverlauf macht. Bei VICUS Districts ist dieser Kern der VICUS Solver, ein an der TU Dresden in über 20 Jahren Forschung gereifter Simulationslöser — derselbe Kern, der auch VICUS Buildings antreibt. Dieser Artikel öffnet die Motorhaube für den Fall Fernwärmenetz: Er zeigt Schritt für Schritt, wie der Solver ein Netz als Gleichungssystem beschreibt und dieses durch die Zeit integriert.

Sie müssen dafür keine Numerik studiert haben. Die zentrale Idee lässt sich in einem Satz sagen, und die interaktiven Demos weiter unten lassen sich selbst „durchkurbeln”.

Die Grundidee in einem Satz

Der Solver beschreibt das Wärmenetz als Graph aus Knoten und Kanten und löst darauf zwei eng gekoppelte Teilprobleme: die Hydraulik — welche Drücke und Massenströme stellen sich ein? — und den Wärmetransport — wie wandern die Temperaturen durchs Netz? Das Herzstück ist dabei immer dieselbe Frage:

„Wie schnell ändert sich die gespeicherte Energie in jedem Fluidvolumen des Netzes?”

Kennt man diese Änderungsrate, kann man einen kleinen Schritt in die Zukunft gehen, die neuen Temperaturen berechnen und das Spiel von vorne beginnen. In Vektorschreibweise, genau so „sieht” es der Zeitintegrator, lautet das:

$\frac{d\mathbf{y}}{dt} = \texttt{ydot}(t,\,\mathbf{y})$

Dabei ist $\mathbf{y}$ der Zustandsvektor (eine lange Liste aller Erhaltungsgrößen), $\texttt{ydot}$ deren zeitliche Änderung und $t$ die Zeit.

Das Netz als Graph

Grundlage jeder Rechnung ist der Netzaufbau als Graph: Knoten sind Verzweigungs- und Anschlusspunkte, Kanten sind die Netzelemente — Rohre, Pumpen, Ventile, Wärmeübertrager der Übergabestationen, Erzeuger. Jedes Element bringt zwei Modelle mit: ein hydraulisches (welche Druckdifferenz stellt sich bei welchem Massenstrom ein?) und ein thermisches (was passiert mit der Temperatur des durchströmenden Fluids?).

Diese Trennung ist keine Nebensächlichkeit, sondern die zentrale Architekturentscheidung des Solvers — denn beide Teilprobleme haben grundverschiedene Zeitskalen.

Zwei Teilprobleme: schnelle Hydraulik, träge Thermik

Die Hydraulik: stationär und algebraisch

Druckwellen breiten sich in nahezu inkompressiblem Wasser mit Schallgeschwindigkeit aus. Aus Sicht der träge wandernden Temperaturen stellt sich die Strömung also sofort ein. Deshalb wird die Hydraulik nicht zeitlich integriert, sondern in jedem Auswertungsschritt als stationäres, algebraisches Gleichungssystem gelöst:

• Massenerhaltung an jedem Knoten $i$ (1. Kirchhoffsches Gesetz): $\sum_k \dot{m}_{i,k} = 0$
• Druckverlust je Element, z. B. für Rohre nach Colebrook-White — abhängig von Massenstrom und Temperatur, denn Dichte und Viskosität des Fluids ändern sich mit ihr (siehe Druckverlustberechnung)

Dieses nichtlineare System wird mit dem Newton-Raphson-Verfahren gelöst. Bidirektionale Strömungen — die Fließrichtung kehrt sich um, etwa bei dezentraler Einspeisung — sind dabei automatisch enthalten, weil die Druckverlustgleichung vorzeichenrichtig formuliert ist.

Die Thermik: dynamisch und zeitabhängig

Temperaturen ändern sich vergleichsweise langsam: Das Fluid speichert Energie, und eine Temperaturwelle braucht je nach Fließgeschwindigkeit Minuten bis Stunden durchs Netz. Der Wärmetransport wird deshalb als System gewöhnlicher Differentialgleichungen formuliert — die Energiebilanz jedes Fluidvolumens $k$:

$C_k \cdot \frac{dT_k}{dt} = \dot{H}_{\text{zu},k} - \dot{H}_{\text{ab},k} - \dot{Q}_{\text{Verlust},k}$

mit den Enthalpieströmen $\dot H = \dot m \, c \, T$ und dem Wärmeverlust ans Erdreich $\dot{Q}_{\text{Verlust},k} = UA \cdot (T_k - T_\text{Erdreich})$.

Warum nicht alles in ein einziges großes Gleichungssystem stecken? Das ist der Weg generischer Löser (etwa in Modelica): eine monolithische Jacobi-Matrix mit vielen direkten Abhängigkeiten. Der VICUS Solver geht den deutlich performanteren zweiten Weg: Das hydraulische System wird als separates Unterproblem innerhalb der thermischen Rechnung gelöst — zwei kleinere, spezialisierte Gleichungssysteme statt einem großen.

Energie statt Temperatur: die Erhaltungsgröße

Wie im Gebäudefall bilanziert der Solver nicht direkt die Temperatur, sondern die gespeicherte Energie — denn Energie ist eine Erhaltungsgröße, deren Zu- und Abflüsse sich eindeutig aufsummieren lassen. Die Temperatur ist eine daraus abgeleitete Größe.

Was steckt im Zustandsvektor y?

Das dynamische Rohrmodell zerlegt jede Leitung in Segmente, damit die Ausbreitung von Temperaturwellen korrekt abgebildet wird; jedes Segment ist ein eigener Eintrag in y. Die thermische Kapazität der Rohrwand wird über ein Lumped Model dem Fluid zugeschlagen — die Trägheit stimmt, ohne dass ein zusätzliches Rechengitter für die Rohrwand nötig wäre. Bei großen Netzen kommen so schnell tausende Unbekannte zusammen.

Woher kommt ydot? Die Bilanz, nicht geraten

Das Rezept ist dasselbe wie bei jedem Erhaltungssatz:

1. Wähle die Erhaltungsgröße y (Energie, Masse, …), nicht die Temperatur.
2. Schreibe die Bilanz: d(Gespeichertes)/dt = Σ Zuflüsse − Σ Abflüsse.
3. Drücke jeden Fluss durch den Zustand aus (physikalische Gesetze).
4. Löse nach dy/dt auf: das ist ydot.

Beispiel: ein Rohrsegment

Ein Segment $k$ mit Fluidmasse $M$ und Wärmekapazität $c$ wird vom Massenstrom $\dot m$ durchströmt und verliert Wärme ans Erdreich:

$M\,c\,\frac{dT_k}{dt} = \dot m\,c\,\bigl(T_{k-1} - T_k\bigr) \;-\; UA\,\bigl(T_k - T_\text{Erdreich}\bigr)$

Links die Speicheränderung, rechts Advektion (das warme Fluid aus dem vorherigen Segment) minus Verlust. Nach $dT_k/dt$ aufgelöst ist das ydot für dieses Segment — hergeleitet aus Energieerhaltung plus Flussgesetzen, nicht erfunden. Reiht man viele Segmente aneinander, entsteht genau das Modell, das in der Live-Demo weiter unten läuft: eine Temperaturfront, die durch ein in 50 Segmente zerlegtes Rohr wandert.

Die Auswertung zur Laufzeit — inklusive Hydraulik

Ein geschlossenes ydot-Formelblatt gibt es auch im Netzfall nicht. Der Integrator übergibt ein y und fragt nach der Änderungsrate; intern läuft die bekannte dreistufige Pipeline:

Bemerkenswert ist die Mitte: In jeder einzelnen ydot-Auswertung steckt eine komplette hydraulische Netzberechnung, denn ohne aktuelle Massenströme gibt es keine Enthalpieströme. Ein Abhängigkeitsgraph sortiert die Teilmodelle automatisch in die richtige Reihenfolge — Regler, die auf Größen reagieren, die sie selbst beeinflussen, werden zu Gruppen zusammengefasst und iterativ gelöst.

Das Schema interaktiv

Die folgende Visualisierung zeigt das Funktionsschema des VICUS Solvers mit den drei geschachtelten Schleifen — im Netzfall dasselbe wie im Gebäudefall, denn es ist derselbe Rechenkern. Die Live-Demo darunter zeigt das Grundelement jedes Netzmodells: ein kaltes Rohr, in Segmente zerlegt, in das ab $t = 0$ heißes Vorlaufwasser einströmt. Sie sehen, wie die Temperaturfront mit der Fließgeschwindigkeit durchs Rohr wandert und Wärmeverluste sie unterwegs dämpfen — und wo die Stabilitätsgrenze expliziter Verfahren liegt.

Zeitintegration: CVODE und die Steifigkeit des Netzes

Integriert wird mit CVODE aus dem SUNDIALS-Paket: ein implizites, adaptives Mehrschrittverfahren auf Basis von BDF (Backward Differentiation Formulas) der Ordnung 1 bis 5. Die Schrittweite ist nicht konstant — bei ruhigem Sommerbetrieb macht der Solver große Schritte, beim morgendlichen Lastanstieg oder beim Zuschalten eines Erzeugers kleine. Die Ausgabe (etwa Stundenwerte) wird davon entkoppelt und sauber interpoliert.

Warum implizit? Aus demselben Grund wie bei Gebäuden: Steifigkeit. Ein kurzes, schnell durchströmtes Rohrsegment hat eine Zeitkonstante von Sekunden; das Erdreich um die Trasse reagiert über Wochen. Explizite Verfahren müssten sich an der schnellsten Zeitkonstante orientieren und winzige Schritte machen — eine Jahressimulation würde unbrauchbar langsam. Das implizite Verfahren bleibt bei großen Schritten stabil; die Schrittweite bestimmt allein die gewünschte Genauigkeit.

Drei geschachtelte Schleifen — plus ein Unterproblem

Die mentale Landkarte des impliziten Solvers gilt unverändert:

• Außen, die Zeitschleife (CVODE): wählt die Schrittweite dt und geht von t nach t+dt.
• Mitte, die Newton-Iteration: löst die nichtlineare implizite Gleichung $F(y) = y - y_n - dt \cdot \texttt{ydot}(y) = 0$ nach y_{n+1} (meist 1–3 Iterationen).
• Innen, das lineare Gleichungssystem (LES): in jeder Newton-Iteration wird einmal $J \cdot \Delta y = -F$ gelöst.

Im Netzfall kommt die Besonderheit hinzu, dass jede ydot-Auswertung ihrerseits das hydraulische Unterproblem per Newton-Raphson löst. Es gibt also zwei getrennte Jacobi-Matrizen mit jeweils geringen Abhängigkeiten — die hydraulische wird für einfache Elemente analytisch und für geregelte Komponenten numerisch gebildet.

Beide Systeme sind dünnbesetzt: Ein Rohrsegment koppelt thermisch nur mit seinen Nachbarn entlang des Fließwegs, ein Knoten hydraulisch nur mit den angeschlossenen Kanten. Der Solver nutzt das über Sparse-Löser aus; bei sehr großen Netzen kommen iterative Krylov-Verfahren mit Präkonditionierer zum Einsatz (GMRES + ILU). Für die meisten Projekte wählt der Solver diese Einstellungen selbst — man dreht daran nur, wenn eine Simulation zu langsam ist oder nicht konvergiert.

Vom Netzmodell zur Lösung in fünf Sätzen

1. Der Solver beschreibt das Wärmenetz als Graph; jedes Element bringt ein hydraulisches und ein thermisches Modell mit.
2. Die Hydraulik (Drücke, Massenströme) ist ein stationäres algebraisches System und wird in jeder Auswertung per Newton-Raphson gelöst; die Thermik (Temperaturen) ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen $dy/dt = \texttt{ydot}(t, y)$.
3. ydot bilanziert die Energie jedes Fluidvolumens — Advektion minus Wärmeverlust — und wird zur Laufzeit in drei Stufen ausgewertet, inklusive des hydraulischen Unterproblems.
4. Integriert wird mit CVODE (implizites BDF-Verfahren) und adaptiver Schrittweite plus Fehlerkontrolle — nötig, weil Netzmodelle steif sind.
5. Jeder implizite Zeitschritt erfordert eine Newton-Iteration, jede Newton-Iteration ein dünnbesetztes lineares Gleichungssystem, das direkt (Sparse-LU) oder iterativ (GMRES + ILU) gelöst wird.

Was das für die Praxis bedeutet

Für die tägliche Netzplanung müssen Sie diese Maschinerie nicht im Detail bedienen — aber sie erklärt, warum eine echte thermo-hydraulische Jahressimulation Rechenzeit braucht und trotzdem in Minuten statt Stunden fertig ist: Die domänenspezifische Aufteilung in hydraulisches und thermisches Teilproblem ist der Performance-Hebel, der auch große Netze mit hunderten Teilnehmern, dezentralen Einspeisern und Prosumer-Strukturen zuverlässig rechenbar macht. Der VICUS Solver ist der Rechenkern, auf dem VICUS Districts aufsetzt; die zugrundeliegende Methodik ist quelloffen über das Forschungsprojekt SIM-VICUS dokumentiert.

Wer tiefer einsteigen will: Der Artikel zur thermo-hydraulischen Simulation ordnet die Methodik in die Netzplanung ein, die Druckverlustberechnung zeigt die hydraulischen Gleichungen im Detail, und der Artikel VICUS Solver: der Rechenkern von VICUS Buildings erklärt denselben Kern aus der Gebäudeperspektive — mit weiteren interaktiven Demos zu Newton-Iteration und linearem Gleichungssystem.